Soal Nomor 2

Jika  100B = 100² + 99² - 98² - 97² + 96² + 95² - 94² - 93² + ... + 4² + 3² - 2² - 1²,

tentukan nilai B !

Pembahasan

Kita mencari nilai 100B terlebih dahulu

Kelompokkan suku-suku dalam deret berikut menjadi selisih dua kuadrat
100² + 99² - 98² - 97² + 96² + 95² - 94² - 93² + ... + 4² + 3² - 2² - 1²
seperti berikut ini
(100² - 98²) + (99² - 97²) + (96² - 94²) + (95² - 93²) + ... + (4² - 2²) + (3² - 1²)

pecahkan bentuk  (x² - y²)  menjadi  (x - y)(x + y)
(100 - 98)(100 + 98) + (99 - 97)(99 + 97) + ... + (4 - 2)(4 + 2) + (3 - 1)(3 + 1)
= 2(198) + 2(196) + 2(190) + 2(188) + ... + 2(6) + 2(4)
= 2(198 + 196 + 190 + 188 + ... + 6 + 4)

Untuk memudahkan menghitung deret 198 + 196 + 190 + 188 + ... + 6 + 4, deret tersebut dapat dipecah menjadi dua deret aritmetika
(198 + 190 + 182 + ... + 6) + (196 + 188 + 180 + ... + 4)

Kita hitung jumlah suku-suku pada deret aritmetika yang pertama
a = 198
b = - 8
Un = 6

mencari nilai n
Un = a + (n - 1)b
6 = 198 + (n - 1)(- 8)
6 = 198 - 8n + 8
8n = 200
n = 25

Setelah dapat nilai n, cari nilai  Sn
Sn = n/2 × (a + Un)
Sn = 25/2 × (198 + 6)
Sn = 25/2 × 204
Sn = 2550 

sedangkan deret ke dua
a = 196
Un = 4
n = 25

dengan rumus Sn, kita dapatkan jumlah suku-sukunya adalah 2500

Kembali mencari nilai 100B
100B = 2(198 + 196 + 190 + 188 + ... + 6 + 4)
100B = 2((198 + 190 + 182 + ... + 6) + (196 + 188 + 180 + ... + 4))
100B = 2(2550 + 2500)
100B = 2(5050)
100B = 10100
sehingga nilai B adalah
100B = 10100
B = 101