Soal Nomor 1

Diberikan x, y, z, dan t bilangan real bukan nol yang memenuhi

x + y + z = t
1/x + 1/y + 1/z = 1/t
x³ + y³ + z³ = 2016³
Tentukan nilai  x + y + z + t  !

Pembahasan

Perhatikan persamaan ke-2, samakan penyebut ruas kiri
 yz  +  xz  +  xy  =  1
xyz    xyz    xyz     t

xy + xz + yz  =  1
       xyz              t

Perhatikan persamaan ke-1, substitusikan pada persamaan di atas

xy + xz + yz  =        1       

       xyz              x + y + z

dikali silang
(xy + xz + yz)(x + y + z) = xyz
x²y + xy² + x²z + xz² + y²z + yz² + 3xyz = xyz
x²y + xy² + x²z + xz² + y²z + yz² + 2xyz = 0

kita simpan dulu persamaan  x²y + xy² + x²z + xz² + y²z + yz² + 2xyz = 0

Perhatikan penjabaran trinomial berikut
(x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3xy² + 3x²z + 3xz² + 3y²z + 3yz² + 6xyz
(x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3(x²y + xy² + x²z + xz² + y²z + yz² + 2xyz)

karena x²y + xy² + x²z + xz² + y²z + yz² + 2xyz = 0, maka
(x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3(0)
(x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 0
(x + y + z)³ = x³ + y³ + z³

Perhatikan persamaan ke-3, substitusikan pada persamaan di atas
(x + y + z)³ = 2016³
x + y + z = 2016

Perhatikan kembali persamaan ke-1, substitusikan 2016
x + y + z = t
t = 2016


x + y + z + t = (x + y + z) + t
x + y + z + t = 2016 + 2016
x + y + z + t = 4032

Jadi, x + y + z + t = 4032