Soal Nomor 11

Jika ditulis angka dari 1 sampai 2012 seperti berikut: 1, 2, 3, ..., 2011, 2012. Berapa kali angka 1 ditulis sebagai angka puluhan?

Pembahasan

Dari 1 sampai 100, angka 1 ditulis sebagai puluhan sebanyak 10 Kali, yakni pada 10, 11, 12, ..., 18, dan 19

Begitu juga pada 101 sampai 200, 201 sampai 300, dan 301 sampai 400

Berarti dari 1 sampai 2000, angka 1 ditulis sebagai puluhan sebanyak

20 × 10 = 200 kali

Dari 2001 sampai 2012, angka 1 ditulis sebagai puluhan sebanyak 3 kali, yakni pada 2010, 2011, dan 2012

Berarti dari 1 sampai 2012, angka 1 ditulis sebagai puluhan sebanyak

200 + 3 = 203 kali

Soal Nomor 12

Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk sepanjang 2 satuan. Titik O merupakan titik potong kedua diagonal bidang BCFG. Tentukan jarak titik O ke bidang BCHE!

Pembahasan

Titik O berada tepat di tengah bidang BCFG, berarti jarak dari titik O ke bidang alas maupun bidang tutup sejauh 1 satuan (misalkan titik tengah BC adalah K)

Bidang BCHE membagi kubus ABCD.EFGH menjadi dua bagian sama besar, sehingga jika ditarik garis lurus dari titik O ke bidang ADHE, garis tersebut akan memotong bidang BCHE pada jarak 1 satuan dari titik O (misalkan titik perpotongan tersebut adalah L)

Jika digambarkan ∆OKL, maka akan terbentuk sebuah segitiga siku-siku di O dengan jarak dari titik O ke bidang BCHE adalah garis tinggi dari titik O ke garis KL (misalkan titik tinggi ∆OKL dari O adalah O')

Dengan teorema Pythagoras
KL² = OK² + OL²
KL² = 1² + 1²
KL² = 2
KL = √2 satuan

Mencari OO'
OK × OL = KL × OO'
  1 × 1 = √2 × OO'
    OO' =  1
              √2
    OO' =  √2  satuan
                 2

Soal Nomor 10

Rata-rata nilai ulangan kelas A  adalah x₁  dan kelas B  adalah x₂ . Setelah digabungkan, rata-rata nilai ulangan mereka menjadi X . Jika x₁ : x₂ = 10 : 9  dan X : x₂ = 85 : 81, tentukan perbandingan banyak siswa di kelas A dengan kelas B !

Pembahasan

misalkan 
banyak siswa kelas A =  n₁
banyak siswa kelas B =  n₂

x₁ : x₂ = 10 : 9 = 90 : 81
karena X : x₂ = 85 : 81, maka  x₁ : X : x₂ = 90 : 85 : 81
anggap  
x₁ = 90k ,  x₂ = 81k , dan  X = 85k

Rata-rata gabungan adalah  X
(n₁ × x₁) + (n₂ × x₂)  =  X
          n₁ + n₂

(n₁ × 90k) + (n₂ × 81k)  =  85k (n₁ + n₂)

(90k)n₁ + (81k)n₂  =  (85k)n₁ + (85k)n₂

(5k)n₁ = (4k)n₂

n₁  =  4k
n₂      5k

n₁ : n₂ = 4 : 5

Soal Nomor 9

Diketahui a  dan b  merupakan bilangan real yang memenuhi
a³ - 3ab² = 40
b³ - 3a²b = 20
Nilai a² + b² adalah...

Pembahasan

Kuadratkan kedua persamaan
(a³ - 3ab²)² = 40²
(a³)² - 6a⁴b² + 9a²b⁴ = 1600

(b³ - 3a²b)² = 20²
(b³)² - 6a²b⁴ + 9a⁴b² = 400

Jumlahkan kedua penjabaran, didapatkan
(a³)² + 3a⁴b² + 3a²b⁴ + (b³)² = 2000

Jadikan binomial (pangkat tiga)
(a² + b²)³ = 2000
a² + b² = ³√2000
a² + b² = 10 ³√2

Soal Nomor 5

Tiga buah apartemen A, B, dan C masing-masing dapat menampung 3 atau 4 orang guru. Banyaknya cara menempatkan 10 orang guru pada ketiga apartemen tersebut adalah...

Pembahasan

Ada 3 jenis pembagian jumlah guru pada ketiga apartemen
(1)  3 guru pada A,  3 guru pada B,  4 guru pada C
(2)  3 guru pada A,  4 guru pada B,  3 guru pada C
(3)  4 guru pada A,  3 guru pada B,  3 guru pada C

Poin (1)
3 guru pada apartemen A
=  10C₃
=   10!  
    3! 7!
=  120 cara  ⇒ tinggal 7 guru

3 guru pada apartemen B
=  7C₃
=   7!  
   3! 4!
=  35 cara  ⇒ tinggal 4 guru

4 guru pada apartemen C
=  4C₄
=   4!  
   4! 0!
=  1 cara  

Total cara poin (1) 
=  120 × 35 × 1 =  4200 cara

Poin (2)
3 guru pada apartemen A
=  10C₃
=   10!   
    3! 7!
=  120 cara  ⇒ tinggal 7 guru

4 guru pada apartemen B
=  7C₄
=   7!   
   4! 3!
=  35 cara  ⇒ tinggal 3 guru

3 guru pada apartemen C
=  3C₃
=   3!   
   3! 0!
=  1 cara 

Total cara poin (2)
= 120 × 35 × 1 = 4200 cara

Poin (3)
4 guru pada apartemen A
=  10C₄
=   10!  
    4! 6!
=  210 cara  ⇒ tinggal 6 guru

3 guru pada apartemen B
=  6C₃
=   6!  
   3! 3!
=  20 cara  ⇒ tinggal 3 guru

3 guru pada apartemen C
=  3C₃
=   3!  
   3! 0!
=  1 cara  

Total cara poin (3)
= 210 × 20 × 1 = 4200 cara

Total cara keseluruhan
=  4200 + 4200 + 4200
=  12600 cara

Soal Nomor 8

3^2010  +  9^1006  =  ...        (3^2010 ⇒ tiga pangkat dua ribu sepuluh)
81^502  +  27^670

Pembahasan

3^2010  +  (3²)^1006
(3⁴)^502  +  (3³)^670

=  3^2010  +  3^2012
    3^2008  +  3^2010

=  3^2010 × (1 + 3²)
    3^2008 × (1 + 3²)

=  3^2010
    3^2008

= 3²

= 9

Soal Nomor 7

∆ABC  siku-siku di  A dengan  AB = 3 cm dan  AC = 4 cm. Tentukan panjang jari-jari lingkaran dalam  ∆ABC !

Pembahasan

BC² = AB² + AC²

BC² = 3² + 4²

BC² = 9 + 16

BC² = 25

BC = 5 cm     (karena panjang BC pasti positif)

Panjang jari-jari lingkaran dalam

=  2L 

    Kll

=  2((3 × 4)/2)

      3 + 4 + 5

=  12

    12

=  1 cm

Soal Nomor 6

Sebuah prisma segi empat berukuran 15 cm × 15 cm × 10 cm terbuat dari baja. Setiap rusuknya dilapisi plastik dan setiap sisinya dilapisi cat. Jika Setiap 1 cm² baja berharga Rp 600,-, setiap 4 cm plastik berharga Rp 1.200,-, dan setiap 10 cm² membutuhkan cat seharga Rp 1.500,-, tentukan biaya membuat prisma tersebut!

Pembahasan

Luas permukaan
=  2(15 × 15) + 4(15 × 10)
=  2(225) + 4(150)
=  450 + 600
=  1050 cm²

Harga Baja
=  1050  ×  600/1
=  Rp 630.000,-

Harga cat
=  1050  ×  1500/10
=  Rp 157.500,-

Jumlah panjang rusuk
=  (8 × 15) + (4 × 10)
=  120 + 40
=  160 cm

Harga plastik
=  160  ×  1200/4
=  Rp 48.000,-

Biaya total
=  630.000 + 157.500 + 48.000
=  Rp 835.500,-

Soal Nomor 4

Dari jumlah siswa keseluruhan di suatu sekolah, 1/12 tidak masuk sekolah dan 1/5 yang masuk melakukan pembelajaran di laboratorium. Jika jumlah siswa yang melakukan pembelajaran di kelas reguler sebanyak 1012 siswa, tentukan jumlah siswa keseluruhan!

Pembahasan

Cara 1

Jumlah siswa yang di kelas reguler adalah 4/5 dari jumlah siswa yang masuk, berarti jumlah siswa yang masuk adalah
1012  :  4/5  =  1012  ×  5/4  =  1265 siswa

Jumlah siswa yang masuk adalah 11/12 dari jumlah keseluruhan, berarti jumlah keseluruhan adalah
1262  :  11/12  =  1265  ×  12/11  =  1380 siswa

Cara 2

Jumlah siswa yang masuk adalah 11/12 dari jumlah keseluruhan, dan jumlah siswa di kelas reguler adalah 4/5 dari yang masuk
misalkan jumlah keseluruhan = n
1012  =  11/12  ×  4/5  ×  n
1012  =  11n/15
n  =  1012  :  11/15
n  =  1012  ×  15/11
n  =  1380 siswa

Soal Nomor 3

∆PQR adalah suatu segitiga samakaki dengan PQ = PR = 10.  PQ terletak pada sumbu x  dengan absis P = - 6  dan R  terletak pada sumbu y. Persamaan garis QR ialah ...

Pembahasan

PQ terletak pada sumbu x, berarti ordinat P = 0
sehingga P = (-6,0)

Karena PQ = 10, berarti koordinat Q bisa 10 satuan ke kiri dari titik P (Q = (-16,0)), atau 10 satuan ke kanan (Q = (4,0))

PR = 10, dan R terletak pada sumbu y, sehingga titik P, titik R, dan titik (0,0) membentuk segitiga siku-siku (misalkan titik (0,0)  adalah titik O)
|OR|² = |PR|² - |OP|²
|OR|² =  10²  -  6²
|OR|² =  100 - 36
|OR|² =  64
|OR| =  ± 8
berarti koordinat R adalah (0,8) atau (0,-8)
__________________________________________________________________
Jika Q = (-16,0)  dan R = (0,8), maka persamaan garis QR adalah
 y - y₁  =  x - x₁
y₂ - y₁     x₂ - x₁

y - 0  =  x + 16
8 - 0      0 + 16

y  =  x + 16
1         2

2y = x + 16  
x - 2y + 16 = 0     dengan   -16 ≤ x ≤ 0
_____________________________________
Jika Q = (-16,0)  dan R = (0,-8), maka persamaan garis QR adalah
 y - 0  =  x + 16
- 8 - 0     0 + 16

 y  =  x + 16
- 1        2

2y = - x - 16
x + 2y + 16 = 0    dengan    - 16 ≤ x ≤ 0
_____________________________________
Jika Q = (4,0)  dan R = (0,8), maka persamaan garis QR adalah
y - 0  =  x - 4
8 - 0      0 - 4

y  =  x - 4
2       - 1

- y = 2x - 8
2x + y - 8 = 0     dengan    0 ≤ x ≤ 4
_________________________________
Jika Q = (4,0)  dan R = (0,-8), maka persamaan garis QR adalah
 y - 0  =  x - 4
- 8 - 0     0 - 4

y  =  x - 4
2        1

y = 2x - 8
2x - y - 8 = 0     dengan    0 ≤ x ≤ 4
_________________________________

Soal Nomor 2

Jika  100B = 100² + 99² - 98² - 97² + 96² + 95² - 94² - 93² + ... + 4² + 3² - 2² - 1²,

tentukan nilai B !

Pembahasan

Kita mencari nilai 100B terlebih dahulu

Kelompokkan suku-suku dalam deret berikut menjadi selisih dua kuadrat
100² + 99² - 98² - 97² + 96² + 95² - 94² - 93² + ... + 4² + 3² - 2² - 1²
seperti berikut ini
(100² - 98²) + (99² - 97²) + (96² - 94²) + (95² - 93²) + ... + (4² - 2²) + (3² - 1²)

pecahkan bentuk  (x² - y²)  menjadi  (x - y)(x + y)
(100 - 98)(100 + 98) + (99 - 97)(99 + 97) + ... + (4 - 2)(4 + 2) + (3 - 1)(3 + 1)
= 2(198) + 2(196) + 2(190) + 2(188) + ... + 2(6) + 2(4)
= 2(198 + 196 + 190 + 188 + ... + 6 + 4)

Untuk memudahkan menghitung deret 198 + 196 + 190 + 188 + ... + 6 + 4, deret tersebut dapat dipecah menjadi dua deret aritmetika
(198 + 190 + 182 + ... + 6) + (196 + 188 + 180 + ... + 4)

Kita hitung jumlah suku-suku pada deret aritmetika yang pertama
a = 198
b = - 8
Un = 6

mencari nilai n
Un = a + (n - 1)b
6 = 198 + (n - 1)(- 8)
6 = 198 - 8n + 8
8n = 200
n = 25

Setelah dapat nilai n, cari nilai  Sn
Sn = n/2 × (a + Un)
Sn = 25/2 × (198 + 6)
Sn = 25/2 × 204
Sn = 2550 

sedangkan deret ke dua
a = 196
Un = 4
n = 25

dengan rumus Sn, kita dapatkan jumlah suku-sukunya adalah 2500

Kembali mencari nilai 100B
100B = 2(198 + 196 + 190 + 188 + ... + 6 + 4)
100B = 2((198 + 190 + 182 + ... + 6) + (196 + 188 + 180 + ... + 4))
100B = 2(2550 + 2500)
100B = 2(5050)
100B = 10100
sehingga nilai B adalah
100B = 10100
B = 101

Soal Nomor 1

Diberikan x, y, z, dan t bilangan real bukan nol yang memenuhi

x + y + z = t
1/x + 1/y + 1/z = 1/t
x³ + y³ + z³ = 2016³
Tentukan nilai  x + y + z + t  !

Pembahasan

Perhatikan persamaan ke-2, samakan penyebut ruas kiri
 yz  +  xz  +  xy  =  1
xyz    xyz    xyz     t

xy + xz + yz  =  1
       xyz              t

Perhatikan persamaan ke-1, substitusikan pada persamaan di atas

xy + xz + yz  =        1       

       xyz              x + y + z

dikali silang
(xy + xz + yz)(x + y + z) = xyz
x²y + xy² + x²z + xz² + y²z + yz² + 3xyz = xyz
x²y + xy² + x²z + xz² + y²z + yz² + 2xyz = 0

kita simpan dulu persamaan  x²y + xy² + x²z + xz² + y²z + yz² + 2xyz = 0

Perhatikan penjabaran trinomial berikut
(x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3xy² + 3x²z + 3xz² + 3y²z + 3yz² + 6xyz
(x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3(x²y + xy² + x²z + xz² + y²z + yz² + 2xyz)

karena x²y + xy² + x²z + xz² + y²z + yz² + 2xyz = 0, maka
(x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3(0)
(x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 0
(x + y + z)³ = x³ + y³ + z³

Perhatikan persamaan ke-3, substitusikan pada persamaan di atas
(x + y + z)³ = 2016³
x + y + z = 2016

Perhatikan kembali persamaan ke-1, substitusikan 2016
x + y + z = t
t = 2016


x + y + z + t = (x + y + z) + t
x + y + z + t = 2016 + 2016
x + y + z + t = 4032

Jadi, x + y + z + t = 4032