Soal Nomor 11

Jika ditulis angka dari 1 sampai 2012 seperti berikut: 1, 2, 3, ..., 2011, 2012. Berapa kali angka 1 ditulis sebagai angka puluhan?

Pembahasan

Dari 1 sampai 100, angka 1 ditulis sebagai puluhan sebanyak 10 Kali, yakni pada 10, 11, 12, ..., 18, dan 19

Begitu juga pada 101 sampai 200, 201 sampai 300, dan 301 sampai 400

Berarti dari 1 sampai 2000, angka 1 ditulis sebagai puluhan sebanyak

20 × 10 = 200 kali

Dari 2001 sampai 2012, angka 1 ditulis sebagai puluhan sebanyak 3 kali, yakni pada 2010, 2011, dan 2012

Berarti dari 1 sampai 2012, angka 1 ditulis sebagai puluhan sebanyak

200 + 3 = 203 kali

Soal Nomor 12

Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk sepanjang 2 satuan. Titik O merupakan titik potong kedua diagonal bidang BCFG. Tentukan jarak titik O ke bidang BCHE!

Pembahasan

Titik O berada tepat di tengah bidang BCFG, berarti jarak dari titik O ke bidang alas maupun bidang tutup sejauh 1 satuan (misalkan titik tengah BC adalah K)

Bidang BCHE membagi kubus ABCD.EFGH menjadi dua bagian sama besar, sehingga jika ditarik garis lurus dari titik O ke bidang ADHE, garis tersebut akan memotong bidang BCHE pada jarak 1 satuan dari titik O (misalkan titik perpotongan tersebut adalah L)

Jika digambarkan ∆OKL, maka akan terbentuk sebuah segitiga siku-siku di O dengan jarak dari titik O ke bidang BCHE adalah garis tinggi dari titik O ke garis KL (misalkan titik tinggi ∆OKL dari O adalah O')

Dengan teorema Pythagoras
KL² = OK² + OL²
KL² = 1² + 1²
KL² = 2
KL = √2 satuan

Mencari OO'
OK × OL = KL × OO'
  1 × 1 = √2 × OO'
    OO' =  1
              √2
    OO' =  √2  satuan
                 2

Soal Nomor 10

Rata-rata nilai ulangan kelas A  adalah x₁  dan kelas B  adalah x₂ . Setelah digabungkan, rata-rata nilai ulangan mereka menjadi X . Jika x₁ : x₂ = 10 : 9  dan X : x₂ = 85 : 81, tentukan perbandingan banyak siswa di kelas A dengan kelas B !

Pembahasan

misalkan 
banyak siswa kelas A =  n₁
banyak siswa kelas B =  n₂

x₁ : x₂ = 10 : 9 = 90 : 81
karena X : x₂ = 85 : 81, maka  x₁ : X : x₂ = 90 : 85 : 81
anggap  
x₁ = 90k ,  x₂ = 81k , dan  X = 85k

Rata-rata gabungan adalah  X
(n₁ × x₁) + (n₂ × x₂)  =  X
          n₁ + n₂

(n₁ × 90k) + (n₂ × 81k)  =  85k (n₁ + n₂)

(90k)n₁ + (81k)n₂  =  (85k)n₁ + (85k)n₂

(5k)n₁ = (4k)n₂

n₁  =  4k
n₂      5k

n₁ : n₂ = 4 : 5

Soal Nomor 9

Diketahui a  dan b  merupakan bilangan real yang memenuhi
a³ - 3ab² = 40
b³ - 3a²b = 20
Nilai a² + b² adalah...

Pembahasan

Kuadratkan kedua persamaan
(a³ - 3ab²)² = 40²
(a³)² - 6a⁴b² + 9a²b⁴ = 1600

(b³ - 3a²b)² = 20²
(b³)² - 6a²b⁴ + 9a⁴b² = 400

Jumlahkan kedua penjabaran, didapatkan
(a³)² + 3a⁴b² + 3a²b⁴ + (b³)² = 2000

Jadikan binomial (pangkat tiga)
(a² + b²)³ = 2000
a² + b² = ³√2000
a² + b² = 10 ³√2

Soal Nomor 5

Tiga buah apartemen A, B, dan C masing-masing dapat menampung 3 atau 4 orang guru. Banyaknya cara menempatkan 10 orang guru pada ketiga apartemen tersebut adalah...

Pembahasan

Ada 3 jenis pembagian jumlah guru pada ketiga apartemen
(1)  3 guru pada A,  3 guru pada B,  4 guru pada C
(2)  3 guru pada A,  4 guru pada B,  3 guru pada C
(3)  4 guru pada A,  3 guru pada B,  3 guru pada C

Poin (1)
3 guru pada apartemen A
=  10C₃
=   10!  
    3! 7!
=  120 cara  ⇒ tinggal 7 guru

3 guru pada apartemen B
=  7C₃
=   7!  
   3! 4!
=  35 cara  ⇒ tinggal 4 guru

4 guru pada apartemen C
=  4C₄
=   4!  
   4! 0!
=  1 cara  

Total cara poin (1) 
=  120 × 35 × 1 =  4200 cara

Poin (2)
3 guru pada apartemen A
=  10C₃
=   10!   
    3! 7!
=  120 cara  ⇒ tinggal 7 guru

4 guru pada apartemen B
=  7C₄
=   7!   
   4! 3!
=  35 cara  ⇒ tinggal 3 guru

3 guru pada apartemen C
=  3C₃
=   3!   
   3! 0!
=  1 cara 

Total cara poin (2)
= 120 × 35 × 1 = 4200 cara

Poin (3)
4 guru pada apartemen A
=  10C₄
=   10!  
    4! 6!
=  210 cara  ⇒ tinggal 6 guru

3 guru pada apartemen B
=  6C₃
=   6!  
   3! 3!
=  20 cara  ⇒ tinggal 3 guru

3 guru pada apartemen C
=  3C₃
=   3!  
   3! 0!
=  1 cara  

Total cara poin (3)
= 210 × 20 × 1 = 4200 cara

Total cara keseluruhan
=  4200 + 4200 + 4200
=  12600 cara

Soal Nomor 8

3^2010  +  9^1006  =  ...        (3^2010 ⇒ tiga pangkat dua ribu sepuluh)
81^502  +  27^670

Pembahasan

3^2010  +  (3²)^1006
(3⁴)^502  +  (3³)^670

=  3^2010  +  3^2012
    3^2008  +  3^2010

=  3^2010 × (1 + 3²)
    3^2008 × (1 + 3²)

=  3^2010
    3^2008

= 3²

= 9

Soal Nomor 7

∆ABC  siku-siku di  A dengan  AB = 3 cm dan  AC = 4 cm. Tentukan panjang jari-jari lingkaran dalam  ∆ABC !

Pembahasan

BC² = AB² + AC²

BC² = 3² + 4²

BC² = 9 + 16

BC² = 25

BC = 5 cm     (karena panjang BC pasti positif)

Panjang jari-jari lingkaran dalam

=  2L 

    Kll

=  2((3 × 4)/2)

      3 + 4 + 5

=  12

    12

=  1 cm